Gómez dilihat salah satu pemain pertahanan berpotensi di Paraguay dan beliau memulakan kariernya di Libertad. Pada musim panas 2014, Gómez meninggalkan Libertad untuk berpindah ke kelab Argentina, Lanús.[1] Sepanjang Gomez mengawal benteng pertahanan Lanus, pasukannya hanya dibolosi sepuluh gol dalam 17 perlawanan sepanjang laluannya untuk merangkul kejuaraan Divisyen Argentina.

Milan

Pada 5 Ogos 2016, Gómez melengkapkan perpindahan ke Milan dengan bayaran yang dilaporkan sekitar 8.5 juta [[euro] dan beliau menandatangani kontrak lima tahun.[2] Beliau menjadi pemain Paraguay pertama di Milan. Selepas menyertai Milan, beliau memilih nombor 15 sebagai kenangan terhadap bekas rakan sepasukannya di Lanús, Diego Barisone yang maut akibat kemalangan kereta.[3]Pada 27 Ogos 2016, beliau melakukan debut untuk Milan di Serie A menentang Napoli yang berkesudahan Napoli menewaskan Milan 4-2.